6-1 ضرب المتجهات Multiplication-of-vectors

في بعض الاحيان نحتاج في علم الفيزياء ان نضرب كمية متجهة بكمية متجهة اخرى قد يكون ناتج الضرب كمية قياسية، واحيانا ً نضرب كميتين متجهتين فيكون الناتج كمية متجهة لذا نعرض طريقتين لضرب المتجهات، وهما :

اولا : الضرب القياسي (النقطي) (Scalar product (dot product

يسمى الضرب القياسي بهذا الاسم، لان ناتج الضرب هو كمية قياسية، ويسمى كذلك ضربا ً نقطيا ً: لان اشارة الضرب فيه هي النقطة.

ويعرف الضرب القياسي (النقطي) للمتجهين

 

  

كما يأتي:

حيث

:

تمثل الزاوية المحصورة بين

كمافي الشكل (25) وقياسها بين الصفر و°180.

يوضح الشكل (26) مسقط المتجه

 

 على المتجه

يساوي

 وهذا المسقط يمثل مركبة المتجه 

على المتجه 

ثانيا ً: الضرب الاتجاهي  (vectors product (cross product

يسمى هذا النوع من ضرب المتجهات الضرب الاتجاهي، لان ناتج الضرب الاتجاهي هو كمية متجهة حيث ينتج عن حاصل ضرب المتجهين متجها ً ثالث يكون اتجاهه عمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين

 

لاحظ الشكل (27).

يعرف الضرب الاتجاهي رياضيا ً كما ياتي:

اما مقدار المتجه

هو:

نطبق قاعدة الكف اليمنى لتعيين اتجاه المتجه المحصل للضرب الاتجاهي للمتجهين

 

ندور اصابع الكف اليمنى من إتجاه المتجه الأول مثلا 

 نحو المتجه الثاني مثلا 

فيشير الإبهام الى اتجاه المتجه المحصل

 

.

3-1 السعة Capacitance

بما أن صفيحتي المتسعة مصنوعتان من مادة موصلة ومعزولتان، فتكون للمتسعة المشحونة جميع نقاط الصفيحة الواحدة بجهد متساو، ويتولد فرق جهد كهربائي بين الصفيحة ذات الجهد الأعلى (الجهد الموجب) و الصفيحة ذات الجهد الأوطأ (الجهد السالب) ويرمز لفرق الجهد بين صفيحتي المتسعة المشحونة (V△). لاحظ الشكل لقد وجد عمليا ان فرق الجهد الكهربائي بين صفيحتي المتسعة المشحونة يتناسب طرديا مع مقدار الشحنة (Q) على أي من صفيحتيها وهذا يعني أن ازدياد مقدار الشحنة (Q) يتسبب في ازدياد مقدار فرق الجهد الكهربائي بين الصفيحتين (V△)، لذا يمكن تعريف سعة المتسعة بأنها: « نسبة الشحنة (Q) المختزنة في أي من صفيحتيها الى مقدار فرق الجهد (V△) بين الصفيحتين» 

أي ان:

والمقدار الثابت (constant) يسمى سعة المتسعة ويرمز لها بالرمز (C)، فتكون:

وتعد سعة المتسعة مقياسا لمقدار الشحنة اللازم وضعها على أي من صفيحتيها لتوليد فرق جهد كهربائي معين بينهما، والمتسعة ذات السعة الأكبر يعني أنها تستوعب شحنة بمقدار أكبر.

تقاس سعة المتسعة في النظام الدولي للوحدات بـ (Coulomb/Volt) وتسمى Farad.

وتكون وحدة (Farad) كبيرة جدا في معظم التطبيقات العملية، فتكون الوحدات الاكثر ملائمة عمليا هي أجزاء الـ Farad وهي :

2-1 المتسعة ذات الصفيحتين المتوازيتين The parallel- plate Capacitor

غالبا ما يكون الموصلان مستويين متوازيين بينهما مادة عازلة كهربائيًا بشكل صفيحتين متوازيتين، وهذا هو أبسط أشكال المتسعات وأكثرها استعمالا في الاغراض العملية. وفي أغلب التطبيقات العملية تكون الصفيحتين ابتداءا غير مشحونتين، ولشحنهما تربط احداهما مع القطب الموجب للبطارية فتظهر عليها شحنة موجبة (Q+) والصفيحة الاخرى تربط مع القطب السالب للبطارية فتظهر عليها شحنة سالبة (Q-) مساوية لها في المقدار، وكلا الشحنتين تقعان على السطحين المتقابلين للصفيحتين، بسبب قوى التجاذب بين تلك الشحنات وهذا يعني أن الصفيحتين تحملان شحنتين متساويتين مقدارا ومختلفتين نوعا فيكون صافي الشحنة على الصفيحتين يساوي صفرا. 

يبين الشكل (4) متسعة تتألف من صفيحتين موصلتين مستويتين متماثلتين معزولتين ومتوازيتين ومساحة كل منهما (A) مفصولتين عن بعضهما بالبعد (d) ومشحونتين بشحنتين متساويتين مقدارا ومختلفتين نوعا تسمى متسعة ذات الصفيحتين المتوازيتين The parallel- plate Capacitor .

يظهر الشكل (4) خطوط المجال الكهربائي بين صفيحتي متسعة ذات الصفيحتين المستويتين المتوازيتين، ويعد مجالا كهربائيًا منتظمًا إذا كان البعد (d) بين الصفيحتين صغيرا جدا بالمقارنة مع أبعاد الصفيحة الواحدة، فيهمل عندئذ عدم انتظام خطوط المجال عند الحافات. والرمز المعبر عن المتضعة في الدوائر الكهربائية هو

 وينطبق هذا الرمز على جميع اأنواع المتسعات.

1.1 المتسعة Capacitor

الموصل الكروي المنفرد المعزول يمكنه خزن كمية محددة من الشحنات الكهربائية. وان الاستمرار في اضافة الشحنات (Q) سيؤدي حتما الى ازدياد جهد الموصل (V) على بعد معين (r) عن مركز الشحنة وعلى وفق العلاقة التي درستها سابقا تكون:

وكما درست سابقا أن مقدار ثابت التناسب (k) في قانون كولومب هو: 

اذن:






هي سماحية الفراغ ومقدارها: 

فتضبح العلاقة: 

وبذلك يزداد فرق الجهدالكهربائي بينه وبين أي جسم آخر (الهواء مثلا)، وعندها يزداد مقدار المجال الكهربائي
وقد يصل إلى الحد الذي يحصل عنده التفريغ الكهربائي خلال الهواء المحيط به. لاحظ الشكل (1). لذا نادرا ما يستعمل الموصل المنفرد في تخزين الشحنات الكهربائية.


لعلك تتساءل هل يمكن صنع جهاز يستعمل لخزن مقادير كبيرة من الشحنات الكهربائية وتخزن فيه الطاقة الكهربائية ؟

لتحقيق ذلك استعمل نظاٍم يتألف من موصلين (باي شكلين كانا) معزولين يفصل بينهما عازل (اأما الفراغ أوالهواء أو مادة عازلة كهربائيًا). فيكون بمقدوره اختزان شحنات موجبة على أحد الموصلين وشحنات سالبة على
الموصل الاخر يسمى متسعة الشكل (2).

فالمتسعة هي جهاز يستعمل لتخزين الشحنات الكهربائية و الطاقة الكهربائية، يتكون من زوج (أو أكثر) من الصفائح الموصلة يفصل بينهما عازل. توجد المتسعات بأشكال هندسية مختلفة منها متسعة ذات الصفيحتين المتوازيتين ومتسعة ذات الاسطوانتين المتمركزتينز

ومتسعة ذات الكرتين المتمركزتين. تصنع المتسعات بأشكال مختلفة حجما ونوعا وفقا لتطبيقاتها العملية لاحظ الشكل (3) يبين مجموعة من المتسعات مختلفة الاأنواع والأحجام والتي تستعمل في تطبيقات عملية مختلفة.

سنتناول في دراستنا في هذا الفصل المتسعة ذات الصفيحتين.

1 - 5 جمع المتجهات Vectors Addition

بما ان للكمية المتجهة مقدارا ً واتجاها ً، فعملية جمع المتجهات لا تخضع لقاعدة الجمع الجبري كما هو الحال في الكميات القياسية .

الطريقة البيانية في جمع المتجهات Graphical Method

يمكن جمع المتجهات بيانيا ً طبقا ً لهذه الطريقة لاحظ الشكل (14a) اذ ان المتجهين

يقعان فـي مستوي واحد هو مستوي الصفحة ، وطول القطعة المستقيمة التي تمثل كلا ً من المتجهين تتناسب طرديا ً مع مقدار المتجه ويشير السهم في نهاية المتجه الى اتجاه المتجه .


و لايجاد حاصل جمع المتجهين 

اولا نرسم المتجه الاول

 

ثم نقوم بوضع المتجه



بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه

ثم نصل بخط مستقيم بين ذيل المتجه



ورأس المتجه



لاحظ الشكل (14b). ويمثل هذا الخط المستقيم متجه حاصل الجمع.

ويسمى


المتجه المحصل Resultant Vector

ويبين الشكل (14c) طريقة اخرى لعملية جمع المتجهين وفيها نرسم المتجه الثاني

اولا ثم نضع ذيل المتجه

عند رأس المتجه



لاحظ ان المتجه المحصل في هذه الحالة هو المتجه

نفسه مما يعني أن:

أي أن جمع المتجهات يمتاز بخاصية الإبدال (Commutative)

ومن الجدير بالذكر انه يمكن جمع المتجه

 مع نفسه لاحظ الشكل (15). بطريقة الرسم ، فان متجه المحصلة في هذه الحالة هو:

وهنا

هو المتجه المحصل مقداره يساوي ضعف مقدار المتجه

 وله اتجاه نفسه

كما نستطيع أن نعرف حاصل طرح المتجهين

 على أنه حاصل جمع للمتجهين

اي ان: 

والشكل (16) يوضح ذلك .

كما يمكن إيجاد المتجه المحصل لثلاث متجهات أو أكثر والتي تبدأ من نقطة التأثير نفسها ويتم جمع هذه المتجهات بوضع ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الاول ثم ذيل المتجه الثالث عند رأس المتجه الثاني وهكذا ثم يرسم المتجه المحصل

بحيث يكون ذيل المتجه

عند ذيل المتجه الأول ورأسه ينطبق على رأس المتجه الاخير كما موضح في الشكل (17) (a,b).

حالة اخرى لجمع المتجهات