1 - 5 جمع المتجهات Vectors Addition

بما ان للكمية المتجهة مقدارا ً واتجاها ً، فعملية جمع المتجهات لا تخضع لقاعدة الجمع الجبري كما هو الحال في الكميات القياسية .

الطريقة البيانية في جمع المتجهات Graphical Method

يمكن جمع المتجهات بيانيا ً طبقا ً لهذه الطريقة لاحظ الشكل (14a) اذ ان المتجهين

يقعان فـي مستوي واحد هو مستوي الصفحة ، وطول القطعة المستقيمة التي تمثل كلا ً من المتجهين تتناسب طرديا ً مع مقدار المتجه ويشير السهم في نهاية المتجه الى اتجاه المتجه .


و لايجاد حاصل جمع المتجهين 

اولا نرسم المتجه الاول

 

ثم نقوم بوضع المتجه



بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه

ثم نصل بخط مستقيم بين ذيل المتجه



ورأس المتجه



لاحظ الشكل (14b). ويمثل هذا الخط المستقيم متجه حاصل الجمع.

ويسمى


المتجه المحصل Resultant Vector

ويبين الشكل (14c) طريقة اخرى لعملية جمع المتجهين وفيها نرسم المتجه الثاني

اولا ثم نضع ذيل المتجه

عند رأس المتجه



لاحظ ان المتجه المحصل في هذه الحالة هو المتجه

نفسه مما يعني أن:

أي أن جمع المتجهات يمتاز بخاصية الإبدال (Commutative)

ومن الجدير بالذكر انه يمكن جمع المتجه

 مع نفسه لاحظ الشكل (15). بطريقة الرسم ، فان متجه المحصلة في هذه الحالة هو:

وهنا

هو المتجه المحصل مقداره يساوي ضعف مقدار المتجه

 وله اتجاه نفسه

كما نستطيع أن نعرف حاصل طرح المتجهين

 على أنه حاصل جمع للمتجهين

اي ان: 

والشكل (16) يوضح ذلك .

كما يمكن إيجاد المتجه المحصل لثلاث متجهات أو أكثر والتي تبدأ من نقطة التأثير نفسها ويتم جمع هذه المتجهات بوضع ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الاول ثم ذيل المتجه الثالث عند رأس المتجه الثاني وهكذا ثم يرسم المتجه المحصل

بحيث يكون ذيل المتجه

عند ذيل المتجه الأول ورأسه ينطبق على رأس المتجه الاخير كما موضح في الشكل (17) (a,b).

حالة اخرى لجمع المتجهات

تحليل المتجه Vector Analysis

يبين الشكل (18) المتجه

 

وقد تم تحليله الى مركبتين تمثلان متجهين متعامدين احدهما يوازي المحور x (ويسمى المركبة الافقية) ويمثلها المتجه

والاخر يوازي المحور y (ويسمى المركبة الشاقولية) ويمثلها المتجه 

وهذه تسمى عملية تحليل المتجه الى مركباته.

وحيث أن  

يمثلان ضلعان قائمان في مثلث قائم الزاوية والمتجه المحصل 

يمثل الوتر في المثلث، ويحسب مقداره طبقا لنظرية فيثاغورس (Pythagorean Theorem) كما يأتي:

اما اتجاه  

يحدد بالزاوية

، حيث ان

وعندها تمكنا من معرفة مقدار واتجاه المتجه المحصل ، وعندما نريد ان نعرف مقدار مركبتيه الشاقولية والافقية ، فنحسب تلك المركبتين باستعمال المعادلتين المبينة ادناه : 

مقدار المركبة الافقية تكون :

مقدار المركبة الشاقولية تكون :

ايجاد محصلة متجهين أو أكثر بطريقة التحليل المتعامد


ان عملية تحليل المتجه الى مركبتيه الافقية على المحور x والشاقولية على المحور y يسهل عملية جمع المتجهات من





الــخ ، وذلك بتحليل كـل متجه الـى الناحية الحسابية . فيمكن جمع متجهين او اكثر مثل مركبتيه الافقية والشاقولية اولا، ثم تجمع المركبات الافقية لكل المتجهات فتكون المركبة الافقية المحصلة على المحور x هي :

وبالمثل تجمع المركبات الشاقولية (المركبات على المحور y ) للمتجهات لتكون المركبة الشاقولية المحصلة على المحور y :

وهذه العملية موضحة بيانيا في الشكل 22.

ولأن






متعامدان ، لذا يمكن حساب مقدار المتجه المحصل باستعمال نظرية فيثاغورس.

ونجد الزاوية التي يصنعها المتجه المحصل





مع المحور x من العلاقة الاتية :

التعبير يعني ان الزاوية


 هي الزاوية التي ظلها يساوي