نــَــــــدى العـِــــــــلم

4-1 بعض خصائص المتجهات - Some properties of Vectors

التساوي Equality

يقال عن متجهين انهما متساوين اذا كان لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه بغض النظر عن نقطة بداية كل منهما …. لاحظ الشكل (٩)

هي متجهات متساوية وتكتب بالصيغة الاتية :-

ولو لاحظنا الشكل ( ١٠ ) نجد ان المتجه

له نقطة بداية P1 ونقطة نهاية هي P2 و المتجه

له نقطة بداية P3 ونقطة نهاية هي P4 عندئذ يمكننا القول ان :

 لأن المتجه

يساوي بالمقدار المتجه

وبالاتجاه  نفسه .

سالب المتجة Negative of a Vector

ان سالب المتجه

هو متجه يمتلك المقدار نفسه للمتجه

ويكون معاكسا له بالاتجاه لاحظ الشكل (12).

ان سالب المتجه

يمثل بالمتجه

أي ان : المتجه وسالب المتجه يكونان متساويين بالمقدار ومتعاكسين بالاتجاه .

أن نتيجة ضرب المتجه بكمية قياسية (مقدارية) Multiplication of a Vector by a Scalar

أن نتيجة ضرب المتجه بكمية قياسية (مقدارية) ينتج عنه متجه آخر يمتلك مقدارا ً جديدا ً ولكنه يبقى محافظا ً على إتجاهه . فمن ملاحظتنا للشكل (13) عند ضرب المتجه

بالرقم (3) فان مقدار المتجه

سوف يزداد ويصبح

ولكنه يبقى بالأتجاه نفسه.

ويوجد في الفيزياء أمثلة متعددة على ضرب المتجهات بكميات قياسية منها :القانون الثاني لنيوتن

وعلاقة القوة الكهربائية بالمجال الكهربائي

1 - 3 الكميات القياسية والكميات المتجهة

عند قياسك لكمية ما فأنك تعبر عن النتيجة بدلالة عدد ما ووحدة قياسه. فمثلا ً قد يكون طولك 165cm، هذه كمية لها قيمة عددية فقط وهي (165) ، ووحدة القياس هي (cm) في هذه الحالة. ويلاحظ ان الكمية مثل الطول لها مقدار ووحدة قياس وكميات اخرى كحجم صندوق او درجة حرارة جسم لا يرتبط مقدارها باي اتجاه. وتسمى الكميات التي ليس لها اتجاه بالكميات القياسية (Scalar quantities) وهناك كميات اخرى تحدد بالاتجاه . ولوصف هذه الكمية وصفا ً كاملا ً يجب تحديد اتجاهها بالاضافة الى مقدارها ووحدة قياسها . فنقول على سبيل المثال ان مقدار سرعة السيارة 40km/h باتجاه الشرق.

وتسمى الكميات التي توصف بتحديد إتجاهها ومقدارها بالكميات المتجهة (Vector quantities)
وتمثل الكمية المتجهة برمز يوضع فوقه سهم صغير للدلالة على كونها كمية متجهة .  فنرمز للقوة F وللسرعة υ وللتعجيل a .  تمثل الكميات المتجهة بيانيا بسهم بحيث :

a. يتناسب طول السهم مع مقدار الكمية المتجهة وذلك باستعمال مقياس معين.
b. يشير اتجاه السهم الى اتجاه الكمية المتجهة.
c. تمثل نقطة الاصل وهي نقطة تأثير المتجه ( نقطة البداية ).

ويعبر رياضيا عن مقدار اي كمية متجهة بالرمز

أو A بدون سهم .فمثلا يشير الشكل (5) الى كمية متجهة

مقدارها 10 وحدات وزاوية قياسها °37 مع المحور x وتؤثر في النقطة (0).
ويشير الشكل (6) الى كمية متجهة مقدارها 10 وحدات وزاوية قياسها °90 مع المحور x بالإتجاه الموجب وتؤثر في النقطة (0) .

2-1 العلاقة بين الاحدااثيات الكارتيزية والقطبية

العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية (x , y ) والاحداثيات القطبية ( r , θ ) يمكن ملاحظتها في المثلث الموضح في الشكل (3) .

لذا يمكن تحويل المحاور القطبية المستوية لاية نقطة، الى محاور كارتيزية باستعمال العلاقة الآتية:

يمكن ايجاد العلاقة الرياضية الآتية:

وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث يكون :

ومنها

1 - 1 أنظمة الإحداثيات - Coordinate systems

نحتاج في حياتنا العملية الى تحديد موقع جسم ما سوا ًء كان ساكنا ًاو متحركا ً، ولتحديد موقع هذا الجسم فاننا نستعين بما يعرف بالاحداثيات (Coordinates) ، وهناك انواع عدة من الاحداثيات التي نطبقها ، منها الاحداثيات الكارتيزية (Rectangular Coordinates) والاحداثيات القطبية (Polar Coordinates).

a- الاحداثيات الكارتيزية (Rectangular coordinates)

تتكون هـذه الاحـداثيات مــن محوريـن ( هـمـا المحـور الافقي x والمحور الشاقولي y ) وهما متعامدين مع بعضهما ومتقاطعين عند النقطة (0 , 0) التي تسمـى نقـطة الاصــل (Origin point) ويكتب اسم المـحورين بـ (x ,y) لتحـديد موقع أيـة نـقطة عـلى هذه الاحداثيات للـدلالـةعلى الكمية الفيزيائية ووحدة القياس المستعملة لقياسها.. لاحظ الشكل (1).

b. الاحداثيات القطبية (Polar Coordinates)

في بعض الاحيان يمكن التعبير عن موقع نقطة في مستو معين بتطبيق نظام محاور اخر يسمى نظام المحاور القطبية (Polar Coordinates)، والذي يحدد بالبعد r والزاوية θ التي يصنعها مع المحور الافقي. لذلك فالبعد r هو البعد من نقطة الاصل الى النقطة (x ,y) في المحاور الكارتيزية وان (θ) هي الزاوية بين المستقيم المرسوم من نقطة الاصل الى تلك النقطة والمحور الافقي x ..لاحظ الشكل (2).