1 - 3 الكميات القياسية والكميات المتجهة

عند قياسك لكمية ما فأنك تعبر عن النتيجة بدلالة عدد ما ووحدة قياسه. فمثلا ً قد يكون طولك 165cm، هذه كمية لها قيمة عددية فقط وهي (165) ، ووحدة القياس هي (cm) في هذه الحالة. ويلاحظ ان الكمية مثل الطول لها مقدار ووحدة قياس وكميات اخرى كحجم صندوق او درجة حرارة جسم لا يرتبط مقدارها باي اتجاه. وتسمى الكميات التي ليس لها اتجاه بالكميات القياسية (Scalar quantities) وهناك كميات اخرى تحدد بالاتجاه . ولوصف هذه الكمية وصفا ً كاملا ً يجب تحديد اتجاهها بالاضافة الى مقدارها ووحدة قياسها . فنقول على سبيل المثال ان مقدار سرعة السيارة 40km/h باتجاه الشرق.

 وتسمى الكميات التي توصف بتحديد إتجاهها ومقدارها بالكميات المتجهة (Vector quantities)
وتمثل الكمية المتجهة برمز يوضع فوقه سهم صغير للدلالة على كونها كمية متجهة . 
فنرمز للقوة F وللسرعة υ وللتعجيل a . 
تمثل الكميات المتجهة بيانيا بسهم بحيث :

a. يتناسب طول السهم مع مقدار الكمية المتجهة وذلك باستعمال مقياس معين.
b. يشير اتجاه السهم الى اتجاه الكمية المتجهة.
c. تمثل نقطة الاصل وهي نقطة تأثير المتجه ( نقطة البداية ).


ويعبر رياضيا عن مقدار اي كمية متجهة بالرمز



أو A بدون سهم .فمثلا يشير الشكل (5) الى كمية متجهة



مقدارها 10 وحدات وزاوية قياسها °37 مع المحور x وتؤثر في النقطة (0).
ويشير الشكل (6) الى كمية متجهة مقدارها 10 وحدات وزاوية قياسها °90 مع المحور x بالإتجاه الموجب وتؤثر في النقطة (0) .

 

2-1 العلاقة بين الاحدااثيات الكارتيزية والقطبية

العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية (x , y ) والاحداثيات القطبية ( r , θ ) يمكن ملاحظتها  في المثلث الموضح في الشكل (3) .

لذا يمكن تحويل المحاور القطبية المستوية لاية نقطة، الى محاور كارتيزية باستعمال العلاقة الآتية:

يمكن ايجاد العلاقة الرياضية الآتية:

وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث يكون :

ومنها

1 - 1 أنظمة الإحداثيات - Coordinate systems

نحتاج في حياتنا العملية الى تحديد موقع جسم ما سوا ًء كان ساكنا ًاو متحركا ً، ولتحديد موقع هذا الجسم فاننا نستعين بما يعرف بالاحداثيات (Coordinates) ، وهناك انواع عدة من الاحداثيات التي نطبقها ، منها الاحداثيات الكارتيزية (Rectangular Coordinates) والاحداثيات القطبية (Polar Coordinates).

a- الاحداثيات الكارتيزية  (Rectangular coordinates)

تتكون هـذه الاحـداثيات مــن محوريـن ( هـمـا المحـور الافقي x والمحور الشاقولي y ) وهما متعامدين مع بعضهما ومتقاطعين عند النقطة (0 , 0) التي تسمـى نقـطة الاصــل (Origin point) ويكتب اسم المـحورين بـ (x ,y) لتحـديد موقع أيـة نـقطة عـلى هذه الاحداثيات للـدلالـةعلى الكمية الفيزيائية ووحدة القياس المستعملة لقياسها.. لاحظ الشكل (1).

b. الاحداثيات القطبية (Polar Coordinates) 

في بعض الاحيان يمكن التعبير عن موقع نقطة في مستو معين بتطبيق نظام محاور اخر يسمى نظام المحاور القطبية (Polar Coordinates)، والذي يحدد بالبعد r والزاوية θ التي يصنعها مع المحور الافقي. لذلك فالبعد r هو البعد من نقطة الاصل الى النقطة (x ,y) في المحاور الكارتيزية وان (θ) هي الزاوية بين المستقيم المرسوم من نقطة الاصل الى تلك النقطة والمحور الافقي x ..لاحظ الشكل (2).

اسئلـــة الفصــل الأول

5-1 التغير الطردي والتغير العكسي للكميات الفيزيائية

التغير الطردي - direct proportion

يقال لكمية (a) بأنها تتغير تغيرا ً مباشرا ً مع كمية اخرى (b) ، اذا أعتمدت الكميتان احداهما على الاخرى بحيث اذا تغيرت (b) فأن (a) تتغير بالنسبة نفسها.

كمية ثابتة = constant

فأذا رمز للتغير بالرمز α يمكن وضع هذا التغير

a α b ⇔ a= k b

حيث k كمية ثابتة وهي تمثل ثابت التناسب.

يطلق على هذا التغير بالتناسب او التغير الطردي direct proportion

في بعض الاحيان تكون الكمية الفيزيائية معتمدة على اكثر من متغير كما موضح في المثال الآتي:

التغير العكسي Inverse propartion

يقال لكمية a انها تتغير عكسياً تبعاً لكمية اخرى b ، عندما تتغير طردياً بصورة مباشرة مع مقلوب الكمية b.

ويمكن كتابتها بصيغة رياضية

حيث k تمثل ثابت التناسب

ولتوضيح ذلك نشتق معادلة الغاز المثالي من خلال المثال الآتي :

4-1 الرسوم البيانية - Graphs

تعد الرسوم البيانية من الطرائق المفضلة للحصول على المتوسط الحسابي لعدد من القراءات بصورة جيدة، ولتوضيح العلاقة بين متغيرين تجريبياً يفضل رسم تخطيط بياني ، ويمكن استعمال الرسم البياني في كثير من الحالات لأستنباط علاقة رياضية تربط هذين المتغيرين ، اضافة الى تحديد قيم الثوابت من الرسم البياني. عزيزي الطالب تعلمت من درس الرياضيات كيفية رسم الخط البياني وتعلمت ايضاً شكل التخطيط البياني من المعادلة الرياضية التي تربط بين متغيرين .

تطبيقات في كيفية رسم الخط البياني من تجارب عملية :

سيارة تسير بانطلاق ثابت وتقطع المسافات المذكورة في الجدول الآتي بالازمان المقابلة لها . جد انطلاق السيارة بـ km / h بيانياً.

لرسم الخط البياني للقراءات الواردة اعلاه نتبع الخطوات الآتية : 1. نحدد نقطة الاصل (0،0) على الورقة البيانية ، ومنها يتم رسم خطين متعامدين يمثلان المحورين (x,y).

2. يحدد مقياس الرسم لكلا المحورين .

a. المحور (y) يمثل المسافة (d) وبعد مربع كل منه يمثل 20km

b. المحور (x) يمثل الزمن (t) ونعتبر كل مربع منه يمثل 0.1h

3. يتم تحديد كل نقطة على الورقة البيانية من معرفة احداثياتها (x,y) كما في الشكل (1-2 ) .

4. نرسم خطاً بيانياً يمر بتلك النقاط، فاذا حصلنا على خط مستقيم يمر بنقطة الاصل، فالمعادلة التي تربط المسافة d بالزمن t شبيه بمعادلة الخط المستقيم التي يعبر عنها بالمعادلة التالية :








حيث ان m تمثل ميل الخط المستقيم Slope.

ويمكن الحصول عليه باخذ نقطتين على الخط المستقيم مثلاً  p1,p2 كما في الشكل (1-2) ، في هذا المثال يمثل ميل الخط المستقيم انطلاق السيارة (v) ويمكن حسابه من العلاقة الآتية :

3-1 اخطاء القياس - Measurement errors

معظم العلوم تعتمد على التجربة الدقيقة لتحقيق نظرياتها ، لذلك فمن الضروري ايجاد وسائل دقيقة للتعامل مع القياسات واستنباط الحقائق منها وتقليل الاخطاء التجريبية . وتعتمد دقة القياسات الفيزيائية على دقة اجهزة القياس المستعملة وعلى مهارة وخبرة المجرب وظروف عمل التجربة، فعدم الدقة في القياسات يعود الى مصادر الاخطاء في القياس ومنها.

1 - اخطاء الاجهزة وادوات القياس المستعملة: 

هناك الاخطاء ناتجة من عدم دقة تدريج الجهاز نتيجة لرداءة صنع الجهاز او لمعايرته غير الصحيحة، وبعضها تتغير قراءته التدريجية بسبب الظروف المحيطة بالجهاز او مع عمر الجهاز . كذلك يتوقف خطأ الجهاز او آلة القياس على دقة قراءته الصغرى (القراءة الصغرى لتدريجه) فمثلاً القراءة الصغرى للمسطرة المترية ( 1mm) بينما القراءة الصغرى للمايكرومتر (0.01mm) ،لذلك فاحتمال الخطا في قياس ابعاد جسم صغير بالمسطرة كبير جداً مقارنة بالخطأ الحاصل باستعمال المايكرومتر. ان تكرار الملاحظات والقياسات بالاجهزة ذات المواصفات اعلاه لا يساعدعلى تقليل الخطأ. وعند ذكر نتيجة أي كمية مقاسة يجب ذكر حدود الخطأ فيها ، فعند قياس الطول مثلاً بآلة قياس دقتها ( 0.1mm) وكان طول الجسم المقاس (1.32cm) فاحتمال الخطأ من جهتي آلة القياس قد يصل الى ( 0.2mm ) فالطول الحقيقي قد يتخذ 1.32cm ± 0.02

2 - اخطاء شخصية : 

وهي اخطاء يرتكبها الشخص بسبب قلة خبرته بالقراءة او عند نقله المعلومات وتعتمد على معرفته بالاجهزة والاستعمال الصحيح لها . اضافة الى بعض الاخطاء الخارجة عن ارادة الشخص بسبب الظروف المحيطة به ، وهذه الاخطاء العشوائية هي الوحيدة التي يمكن معالجتها وتصحيحها بالقياسات المتكررة ، ويمكن معاملتها بسهولة بطرائق احصائية وابسطها هو ايجاد متوسطها الحسابي ، فهو خير تخمين للقيمة الحقيقية.

تذكر عزيزي الطالب ان خطأ صغير في القياس (قياس موقع على خارطة بمسطرة مثلاً) قد يؤدي الى خطأ كبير بالبعد الحقيقي.